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Calculateur de matrices

Saisissez une ou deux matrices jusqu’à 3 × 3 pour les additionner, les soustraire ou les multiplier, ou pour calculer le déterminant, l’inverse ou la transposée de A. Tout est calculé avec des fractions exactes : un inverse affiche donc 3/2 plutôt que 1,4999999, et le détail du calcul du déterminant ou du premier coefficient d’un produit est écrit en toutes lettres.

Exemples rapides

Lignes séparées par des points-virgules, nombres séparés par des espaces ou des virgules : 1 2; 3 4. Les fractions comme 1/2 sont acceptées.

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Résultat[19, 22; 43, 50]
Résultat en décimaux
[19, 22; 43, 50]
Taille du résultat
2 × 2
Déterminant de A
-2
Détail du calcul
Chaque coefficient est une ligne de A multipliée par une colonne de B : coefficient (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

Résultat, ligne par ligne

LigneColonne 1Colonne 2Colonne 3

Configurations enregistrées

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      Formule

      (A ± B) terme à terme : (A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ, pour des matrices de même taille
      (A × B)ᵢⱼ = ligne i de A fois colonne j de B = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …
      det [a b; c d] = ad − bc
      det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
      A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A) ; pour une matrice 2 × 2, [a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)
      Transposée : (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ, les lignes deviennent donc des colonnes

      Mode d’emploi

      1. Choisissez l’opération.
      2. Saisissez la matrice A ligne par ligne, avec un point-virgule entre les lignes, par exemple 1 2; 3 4. Les fractions et les décimaux sont acceptés.
      3. Pour A + B, A − B ou A × B, saisissez la matrice B de la même façon.
      4. Lisez le résultat entre crochets, ligne par ligne, ou dans le tableau ci-dessous.

      Exemples de calcul

      [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

      Résultat
      [19, 22; 43, 50]
      Taille du résultat
      2 × 2
      Déterminant de A
      -2
      Détail du calcul
      Chaque coefficient est une ligne de A multipliée par une colonne de B : coefficient (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

      Inverse de [1 2; 3 4], en fractions exactes

      Résultat
      [-2, 1; 3/2, -1/2]
      Résultat en décimaux
      [-2, 1; 1.5, -0.5]

      Déterminant d’une matrice 3 × 3 par développement selon une ligne

      Résultat
      -59
      Détail du calcul
      2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

      Inverse d’une matrice 3 × 3 de déterminant 5

      Résultat
      [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
      Déterminant de A
      5

      Soustraction de deux matrices 3 × 3

      Résultat
      [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
      Déterminant de A
      0

      Transposée d’une matrice 2 × 3

      Résultat
      [1, 4; 2, 5; 3, 6]
      Taille du résultat
      3 × 2

      Une matrice sans inverse

      Déterminant de A
      0
      Détail du calcul
      Le déterminant de A vaut 0 : A n’a donc pas d’inverse

      Les règles qui piègent

      La multiplication de matrices n’est pas commutative : A × B et B × A sont généralement différentes, et l’une des deux peut même ne pas exister. A × B exige que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B ; une matrice 2 × 3 multipliée par une matrice 3 × 2 donne une matrice 2 × 2.

      Seules les matrices carrées ont un déterminant et un inverse, et seules celles dont le déterminant n’est pas nul sont inversibles. [1 2; 2 4] a pour déterminant 1 × 4 − 2 × 2 = 0, car sa deuxième ligne est le double de la première : elle n’a donc pas d’inverse.

      Vérifier un inverse

      Multipliez la matrice par son inverse : vous devez obtenir la matrice identité, avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Pour [1 2; 3 4] et son inverse [−2 1; 3/2 −1/2], la ligne 1 fois la colonne 1 donne 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1, et la ligne 1 fois la colonne 2 donne 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0.

      Questions fréquentes

      Quel est le déterminant de [1 2; 3 4] ?

      −2. On multiplie le long de chaque diagonale et on soustrait : 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.

      Comment trouver l’inverse d’une matrice 2 × 2 ?

      Échangez a et d, changez les signes de b et c, puis divisez le tout par le déterminant ad − bc. Pour [1 2; 3 4], cela donne [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1,5 −0,5].

      Peut-on multiplier une matrice 2 × 3 par une matrice 3 × 2 ?

      Oui. Les tailles intérieures sont égales (3 et 3), et le résultat prend les tailles extérieures : il est donc de taille 2 × 2.

      Pourquoi ma matrice n’a-t-elle pas d’inverse ?

      Son déterminant vaut 0, ce qui arrive quand une ligne ou une colonne peut s’obtenir à partir des autres. On dit alors que la matrice est singulière.

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