矩陣計算機

公式

逐項相加減：(A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ，兩個矩陣的大小必須相同

(A × B)ᵢⱼ = A 的第 i 列乘上 B 的第 j 行 = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …

det [a b; c d] = ad − bc

det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A)；2 × 2 的情況：[a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)

轉置：(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ，列變成行

使用方式

選擇運算。
輸入矩陣 A，一列一列輸入，列與列之間用分號隔開，例如 1 2; 3 4。分數和小數都可以。
若是 A + B、A − B 或 A × B，用同樣的方式輸入矩陣 B。
結果會以括號顯示，一列一列排列，也可以看下方的表格。

計算範例

[1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

結果: [19, 22; 43, 50]
結果的大小: 2 × 2
A 的行列式: -2
運算過程: 每個元素都是 A 的一列與 B 的一行對應相乘後相加：第 1 列第 1 行 = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

[1 2; 3 4] 的反矩陣，以精確分數表示

結果: [-2, 1; 3/2, -1/2]
以小數表示的結果: [-2, 1; 1.5, -0.5]

用餘因子展開求 3 × 3 矩陣的行列式

結果: -59
運算過程: 2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

行列式為 5 的 3 × 3 矩陣的反矩陣

結果: [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
A 的行列式: 5

兩個 3 × 3 矩陣相減

結果: [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
A 的行列式: 0

2 × 3 矩陣的轉置

結果: [1, 4; 2, 5; 3, 6]
結果的大小: 3 × 2

沒有反矩陣的矩陣

A 的行列式: 0
運算過程: A 的行列式為 0，所以 A 沒有反矩陣

容易搞錯的規則

矩陣乘法不滿足交換律：A × B 和 B × A 通常不同，其中一個甚至可能根本不存在。A × B 要求 A 的行數等於 B 的列數；2 × 3 矩陣乘上 3 × 2 矩陣會得到 2 × 2。

只有方陣才有行列式和反矩陣，而且行列式不為 0 才能求反矩陣。[1 2; 2 4] 的行列式是 1 × 4 − 2 × 2 = 0，因為它的第二列是第一列的兩倍，所以沒有反矩陣。

怎麼驗算反矩陣

把矩陣乘上它的反矩陣，應該得到單位矩陣：對角線是 1，其他位置都是 0。以 [1 2; 3 4] 和它的反矩陣 [−2 1; 3/2 −1/2] 為例，第 1 列乘第 1 行是 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1，第 1 列乘第 2 行是 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0。

常見問題

[1 2; 3 4] 的行列式是多少？

−2。把兩條對角線各自相乘再相減：1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2。

2 × 2 矩陣的反矩陣怎麼求？

把 a 和 d 對調，b 和 c 變號，再全部除以行列式 ad − bc。以 [1 2; 3 4] 為例，就是 [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1.5 −0.5]。

2 × 3 矩陣可以乘上 3 × 2 矩陣嗎？

可以。中間的大小相符（3 和 3），答案取外側的大小，所以是 2 × 2。

為什麼我的矩陣沒有反矩陣？

因為它的行列式是 0，也就是某一列或某一行可以由其他列或行組合出來。這樣的矩陣稱為奇異矩陣。

結果（逐列顯示）

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