矩阵计算器

公式

加减按元素进行：(A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ，要求两个矩阵大小相同

(A × B)ᵢⱼ = A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应相乘再相加 = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …

det [a b; c d] = ad − bc

det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A)；对 2 × 2 矩阵，[a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)

转置：(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ，即行变成列

使用方式

选择运算。
按行输入矩阵 A，行与行之间用分号隔开，例如 1 2; 3 4。可以用分数和小数。
做 A + B、A − B 或 A × B 时，用同样的方式输入矩阵 B。
结果以方括号逐行显示，下方的表格也有同样的内容。

计算范例

[1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

结果: [19, 22; 43, 50]
结果的大小: 2 × 2
A 的行列式: -2
运算过程: 每个元素都是 A 的一行乘以 B 的一列：元素 (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

[1 2; 3 4] 的逆矩阵（精确分数）

结果: [-2, 1; 3/2, -1/2]
结果（小数）: [-2, 1; 1.5, -0.5]

用代数余子式展开求 3 × 3 矩阵的行列式

结果: -59
运算过程: 2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

行列式为 5 的 3 × 3 矩阵的逆矩阵

结果: [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
A 的行列式: 5

两个 3 × 3 矩阵相减

结果: [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
A 的行列式: 0

2 × 3 矩阵的转置

结果: [1, 4; 2, 5; 3, 6]
结果的大小: 3 × 2

没有逆矩阵的矩阵

A 的行列式: 0
运算过程: A 的行列式为 0，所以 A 没有逆矩阵

容易出错的规则

矩阵乘法不满足交换律：A × B 和 B × A 通常不相等，其中一个甚至可能根本无法计算。A × B 要求 A 的列数等于 B 的行数；2 × 3 矩阵乘以 3 × 2 矩阵，得到的是 2 × 2 矩阵。

只有方阵才有行列式和逆矩阵，而且行列式不为 0 才能求逆。[1 2; 2 4] 的行列式是 1 × 4 − 2 × 2 = 0，因为它的第二行是第一行的两倍，所以没有逆矩阵。

怎样验证逆矩阵

把矩阵乘以它的逆矩阵，应该得到单位矩阵：对角线上是 1，其余位置都是 0。以 [1 2; 3 4] 和它的逆矩阵 [−2 1; 3/2 −1/2] 为例，第 1 行乘第 1 列是 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1，第 1 行乘第 2 列是 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0。

常见问题

[1 2; 3 4] 的行列式是多少？

−2。沿两条对角线分别相乘再相减：1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2。

2 × 2 矩阵的逆矩阵怎么求？

交换 a 和 d，把 b 和 c 变号，再整体除以行列式 ad − bc。对 [1 2; 3 4]，就是 [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1.5 −0.5]。

2 × 3 矩阵能乘以 3 × 2 矩阵吗？

可以。中间的两个数相同（都是 3），结果的大小取外侧的两个数，所以是 2 × 2。

为什么我的矩阵没有逆矩阵？

因为它的行列式为 0，也就是说某一行或某一列可以由其他行或列组合得到。这样的矩阵叫作奇异矩阵。

结果（逐行）

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