一元二次方程序计算器
解任何一元二次方程序 ax² + bx + c = 0。输入三个系数，就能得到两个解——实数或复数——以及判别式、根的类型与抛物线的顶点。
- x₁
- 3
- x₂
- 2
- 判别式（b² − 4ac）
- 1
- 根的类型
- 两个相异实根
- 顶点
- (2.5, -0.25)
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公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
判别式 D = b² − 4ac
顶点 = (−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)
使用方式
- 把方程序整理成一边为零的形式：ax² + bx + c = 0。
- 输入 a、b、c，记得保留正负号。缺少的项输入 0。
- 查看解。判别式一栏会告诉你为什么有两个、一个或没有实根。
计算范例
x² − 5x + 6 = 0
- 解
- x = 3 或 x = 2
- 判别式（b² − 4ac）
- 1
- 根的类型
- 两个相异实根
- 顶点
- (2.5, -0.25)
x² − 4x + 13 = 0，没有实数解
- 解
- x = 2 + 3i 或 x = 2 - 3i
- 判别式（b² − 4ac）
- -36
- 顶点
- (2, 9)
x² + 6x + 9 = 0
- 解
- x = -3（重根）
- 判别式（b² − 4ac）
- 0
判别式告诉你什么
D 为正时，有两个相异实根，抛物线与 x 轴交于两点。D 为零时，有一个重根，抛物线在顶点处刚好碰到 x 轴。D 为负时，没有实数解；两个根是共轭复数 p ± qi，其中 p = −b ÷ 2a，q = √(−D) ÷ 2a。
实际算一次与快速验算
以 x² − 5x + 6 = 0 为例：D = 25 − 24 = 1，所以 x = (5 ± 1) ÷ 2，得到 x = 3 和 x = 2。
任何答案都可以这样验算：两根之和必须等于 −b ÷ a，两根之积必须等于 c ÷ a。这里 3 + 2 = 5，3 × 2 = 6。
常见问题
x² − 5x + 6 = 0 的解是什么？
x = 3 和 x = 2。这个方程序可以因式分解成 (x − 3)(x − 2) = 0。
判别式为负时会怎样？
没有实数解，只有一对复数解。以 x² − 4x + 13 = 0 为例，判别式是 −36，解是 x = 2 + 3i 和 x = 2 − 3i。
为什么 a 不能是零？
a = 0 时 x² 项消失，方程序变成一次方程序 bx + c = 0，只有一个解 x = −c ÷ b。这时公式解会除以零。