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Rechner für quadratische Gleichungen (abc-Formel)
Löse jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0. Gib die drei Koeffizienten ein und erhalte beide Lösungen – reell oder komplex – zusammen mit der Diskriminante, der Art der Lösungen und dem Scheitelpunkt der Parabel.
- x₁
- 3
- x₂
- 2
- Diskriminante (b² − 4ac)
- 1
- Art der Lösungen
- Zwei verschiedene reelle Lösungen
- Scheitelpunkt
- (2.5, -0.25)
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Formel
So geht’s
- Forme deine Gleichung so um, dass eine Seite null ist: ax² + bx + c = 0.
- Gib a, b und c mit ihren Vorzeichen ein. Verwende 0 für einen fehlenden Term.
- Lies die Lösungen ab. Die Zeile zur Diskriminante zeigt, warum es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt.
Rechenbeispiele
x² − 5x + 6 = 0
- Lösungen
- x = 3 oder x = 2
- Diskriminante (b² − 4ac)
- 1
- Art der Lösungen
- Zwei verschiedene reelle Lösungen
- Scheitelpunkt
- (2.5, -0.25)
x² − 4x + 13 = 0, ohne reelle Lösungen
- Lösungen
- x = 2 + 3i oder x = 2 - 3i
- Diskriminante (b² − 4ac)
- -36
- Scheitelpunkt
- (2, 9)
x² + 6x + 9 = 0
- Lösungen
- x = -3 (doppelte Lösung)
- Diskriminante (b² − 4ac)
- 0
Was die Diskriminante verrät
Ist D positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, und die Parabel schneidet die x-Achse zweimal. Ist D null, gibt es eine doppelte Lösung, und die Parabel berührt die Achse nur in ihrem Scheitelpunkt. Ist D negativ, gibt es keine reellen Lösungen; die beiden Lösungen sind konjugiert komplex p ± qi, mit p = −b ÷ 2a und q = √(−D) ÷ 2a.
Ein durchgerechnetes Beispiel und eine schnelle Probe
Für x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1, also x = (5 ± 1) ÷ 2, das ergibt x = 3 und x = 2.
Zur Probe müssen die beiden Lösungen zusammen −b ÷ a ergeben und multipliziert c ÷ a. Hier ist 3 + 2 = 5 und 3 × 2 = 6.
Häufige Fragen
Wie lauten die Lösungen von x² − 5x + 6 = 0?
x = 3 und x = 2. Die Gleichung lässt sich als (x − 3)(x − 2) = 0 faktorisieren.
Was passiert, wenn die Diskriminante negativ ist?
Es gibt keine reellen Lösungen, nur ein Paar komplexer. Für x² − 4x + 13 = 0 ist die Diskriminante −36, und die Lösungen sind x = 2 + 3i und x = 2 − 3i.
Warum darf a nicht null sein?
Bei a = 0 fällt der x²-Term weg, und die Gleichung ist linear, bx + c = 0, mit der einzigen Lösung x = −c ÷ b. Die Lösungsformel würde durch null teilen.