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Scheitelpunktform-Rechner
Forme eine quadratische Funktion von der allgemeinen Form y = ax² + bx + c in die Scheitelpunktform y = a(x − h)² + k um. Gib a, b und c ein und erhalte die umgeschriebene Gleichung, den Scheitelpunkt (h, k), die Symmetrieachse und die Öffnungsrichtung der Parabel.
- h (x-Wert des Scheitelpunkts)
- 3
- k (y-Wert des Scheitelpunkts)
- 4
- Symmetrieachse
- x = 3
- Parabel
- Nach oben geöffnet (der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt)
- y-Achsenabschnitt
- 22
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Formel
So geht’s
- Gib die Koeffizienten a, b und c aus y = ax² + bx + c ein.
- Lies die Scheitelpunktform ab.
- Nutze h und k für den Scheitelpunkt: den tiefsten Punkt, wenn a positiv ist, den höchsten, wenn a negativ ist.
Rechenbeispiele
y = 2x² − 12x + 22
- Scheitelpunktform
- y = 2(x - 3)² + 4
- h (x-Wert des Scheitelpunkts)
- 3
- k (y-Wert des Scheitelpunkts)
- 4
- Symmetrieachse
- x = 3
y = x² + 6x + 5
- Scheitelpunktform
- y = (x + 3)² - 4
- h (x-Wert des Scheitelpunkts)
- -3
- k (y-Wert des Scheitelpunkts)
- -4
y = −x² + 4x − 1
- Scheitelpunktform
- y = -(x - 2)² + 3
- h (x-Wert des Scheitelpunkts)
- 2
- k (y-Wert des Scheitelpunkts)
- 3
Quadratische Ergänzung von Hand
Für y = 2x² − 12x + 22: Klammere 2 aus den ersten beiden Termen aus und erhalte 2(x² − 6x) + 22. Die Hälfte von −6 ist −3, und (−3)² = 9, also addierst und subtrahierst du in der Klammer 9: 2(x² − 6x + 9) − 18 + 22 = 2(x − 3)² + 4. Der Scheitelpunkt ist (3, 4).
Achte auf das Vorzeichen: Die Form hat (x − h), also liegt der Scheitelpunkt von y = (x + 3)² − 4 bei x = −3, nicht bei +3.
Warum der Scheitelpunkt wichtig ist
Der Scheitelpunkt ist das Maximum oder Minimum der Funktion. Ein nach oben geworfener Ball mit der Höhe h(t) = −16t² + 64t + 5 Fuß erreicht seinen höchsten Punkt bei t = −64 ÷ (2 × −16) = 2 Sekunden, in einer Höhe von 69 Fuß.
Häufige Fragen
Wie lautet der Scheitelpunkt von y = x² + 6x + 5?
(−3, −4). In Scheitelpunktform lautet die Gleichung y = (x + 3)² − 4.
Wie lautet y = 2x² − 12x + 22 in Scheitelpunktform?
y = 2(x − 3)² + 4, mit dem Scheitelpunkt bei (3, 4).
Wie komme ich von der Scheitelpunktform zurück zur allgemeinen Form?
Multipliziere das Quadrat aus und fasse zusammen. 2(x − 3)² + 4 = 2(x² − 6x + 9) + 4 = 2x² − 12x + 22. Der Wert von a bleibt in beiden Formen gleich.