Калькулятор квадратного уравнения

Формула

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

Дискриминант D = b² − 4ac

Вершина = (−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)

Как пользоваться

Приведите уравнение к виду, где одна часть равна нулю: ax² + bx + c = 0.
Введите a, b и c, сохранив знаки. Для отсутствующего члена введите 0.
Прочитайте решения. Строка с дискриминантом объяснит, почему корней два, один или нет вещественных.

Примеры расчётов

x² − 5x + 6 = 0

Решения: x = 3 или x = 2
Дискриминант (b² − 4ac): 1
Тип корней: Два различных вещественных корня
Вершина: (2.5, -0.25)

x² − 4x + 13 = 0, вещественных корней нет

Решения: x = 2 + 3i или x = 2 - 3i
Дискриминант (b² − 4ac): -36
Вершина: (2, 9)

x² + 6x + 9 = 0

Решения: x = -3 (двойной корень)
Дискриминант (b² − 4ac): 0

О чём говорит дискриминант

Если D положителен, есть два разных вещественных корня, и парабола дважды пересекает ось x. Если D равен нулю, корень один (двойной), и парабола лишь касается оси в вершине. Если D отрицателен, вещественных корней нет; два корня — комплексно сопряжённые p ± qi, где p = −b ÷ 2a, а q = √(−D) ÷ 2a.

Пример решения и быстрая проверка

Для x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1, значит, x = (5 ± 1) ÷ 2, то есть x = 3 и x = 2.

Чтобы проверить любой ответ, сумма корней должна быть равна −b ÷ a, а произведение — c ÷ a. Здесь 3 + 2 = 5 и 3 × 2 = 6.

Частые вопросы

Каковы решения уравнения x² − 5x + 6 = 0?

x = 3 и x = 2. Уравнение раскладывается на множители как (x − 3)(x − 2) = 0.

Что происходит, когда дискриминант отрицателен?

Вещественных решений нет, есть только пара комплексных. Для x² − 4x + 13 = 0 дискриминант равен −36, а решения — x = 2 + 3i и x = 2 − 3i.

Почему a не может быть равно нулю?

При a = 0 член с x² пропадает, и уравнение становится линейным, bx + c = 0, с единственным решением x = −c ÷ b. По формуле корней пришлось бы делить на ноль.