행렬 계산기

공식

(A ± B)는 성분별로: (A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ, 크기가 같은 행렬끼리

(A × B)ᵢⱼ = A의 i행과 B의 j열의 곱의 합 = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …

det [a b; c d] = ad − bc

det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A). 2 × 2에서는 [a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)

전치: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ, 즉 행이 열이 됩니다

사용 방법

연산을 고릅니다.
행렬 A를 행 단위로, 행 사이에 세미콜론을 넣어 입력합니다. 예: 1 2; 3 4. 분수와 소수도 됩니다.
A + B, A − B, A × B라면 행렬 B도 같은 방식으로 입력합니다.
결과를 대괄호 안에 행 단위로 나열한 값이나 아래 표에서 확인합니다.

계산 예시

[1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

결과: [19, 22; 43, 50]
결과의 크기: 2 × 2
A의 행렬식: -2
풀이: A의 행과 B의 열을 곱해 각 성분을 구합니다. 성분 (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

[1 2; 3 4]의 역행렬 (정확한 분수)

결과: [-2, 1; 3/2, -1/2]
소수로 나타낸 결과: [-2, 1; 1.5, -0.5]

여인수 전개로 구하는 3 × 3 행렬식

결과: -59
풀이: 2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

행렬식이 5인 3 × 3 행렬의 역행렬

결과: [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
A의 행렬식: 5

3 × 3 행렬 두 개의 뺄셈

결과: [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
A의 행렬식: 0

2 × 3 행렬의 전치행렬

결과: [1, 4; 2, 5; 3, 6]
결과의 크기: 3 × 2

역행렬이 없는 행렬

A의 행렬식: 0
풀이: A의 행렬식이 0이므로 A의 역행렬은 없습니다

많이들 헷갈리는 규칙

행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않습니다. A × B와 B × A는 대체로 다르고, 둘 중 하나는 아예 정의되지 않을 수도 있습니다. A × B가 되려면 A의 열 수와 B의 행 수가 같아야 합니다. 2 × 3 행렬에 3 × 2 행렬을 곱하면 2 × 2가 됩니다.

행렬식과 역행렬은 정사각행렬에만 있고, 행렬식이 0이 아닌 행렬만 역행렬이 있습니다. [1 2; 2 4]는 둘째 행이 첫째 행의 두 배이므로 행렬식이 1 × 4 − 2 × 2 = 0이고 역행렬이 없습니다.

역행렬 검산하기

행렬에 그 역행렬을 곱하면 대각선이 1이고 나머지가 0인 단위행렬이 나와야 합니다. [1 2; 3 4]와 역행렬 [−2 1; 3/2 −1/2]에서 1행과 1열의 곱은 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1이고, 1행과 2열의 곱은 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0입니다.

자주 묻는 질문

[1 2; 3 4]의 행렬식은 얼마인가요?

−2입니다. 두 대각선 방향으로 각각 곱해서 뺍니다: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.

2 × 2 행렬의 역행렬은 어떻게 구하나요?

a와 d의 자리를 바꾸고, b와 c의 부호를 바꾼 뒤, 전체를 행렬식 ad − bc로 나눕니다. [1 2; 3 4]라면 [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1.5 −0.5]입니다.

2 × 3 행렬에 3 × 2 행렬을 곱할 수 있나요?

네. 안쪽 크기(3과 3)가 같고, 결과는 바깥쪽 크기를 따라 2 × 2가 됩니다.

내 행렬에 역행렬이 없는 이유가 뭔가요?

행렬식이 0이기 때문입니다. 한 행이나 한 열을 다른 행·열로 만들 수 있을 때 그렇게 되며, 이런 행렬을 특이행렬이라고 합니다.

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