Калькулятор матриц

Формула

(A ± B) поэлементно: (A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ, для матриц одного размера

(A × B)ᵢⱼ = строка i матрицы A, умноженная на столбец j матрицы B = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …

det [a b; c d] = ad − bc

det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A); для 2 × 2: [a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)

Транспонирование: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ, то есть строки становятся столбцами

Как пользоваться

Выберите операцию.
Введите матрицу A по строкам, разделяя строки точкой с запятой, например 1 2; 3 4. Дроби и десятичные числа допускаются.
Для A + B, A − B или A × B введите матрицу B так же.
Прочитайте результат в скобках по строкам или в таблице ниже.

Примеры расчётов

[1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

Результат: [19, 22; 43, 50]
Размер результата: 2 × 2
Определитель A: -2
Ход решения: Каждый элемент — строка A, умноженная на столбец B: элемент (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

Обратная к [1 2; 3 4] в точных дробях

Результат: [-2, 1; 3/2, -1/2]
Результат в десятичных дробях: [-2, 1; 1.5, -0.5]

Определитель матрицы 3 × 3: разложение по первой строке

Результат: -59
Ход решения: 2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

Обратная к матрице 3 × 3 с определителем 5

Результат: [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
Определитель A: 5

Вычитание двух матриц 3 × 3

Результат: [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
Определитель A: 0

Транспонирование матрицы 2 × 3

Результат: [1, 4; 2, 5; 3, 6]
Размер результата: 3 × 2

Матрица без обратной

Определитель A: 0
Ход решения: Определитель A равен 0, поэтому обратной матрицы нет

Правила, на которых часто ошибаются

Умножение матриц не коммутативно: A × B и B × A обычно различаются, а одно из них может вообще не существовать. Для A × B число столбцов A должно равняться числу строк B; матрица 2 × 3, умноженная на матрицу 3 × 2, даёт матрицу 2 × 2.

Определитель и обратная матрица есть только у квадратных матриц, причём обратить можно лишь те, у которых определитель не равен 0. У [1 2; 2 4] определитель 1 × 4 − 2 × 2 = 0, потому что вторая строка вдвое больше первой, поэтому обратной у неё нет.

Как проверить обратную матрицу

Умножьте матрицу на её обратную, и должна получиться единичная матрица: единицы на диагонали и нули во всех остальных местах. Для [1 2; 3 4] и обратной к ней [−2 1; 3/2 −1/2] строка 1, умноженная на столбец 1, даёт 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1, а строка 1, умноженная на столбец 2, — 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0.

Частые вопросы

Чему равен определитель [1 2; 3 4]?

−2. Перемножьте числа на каждой диагонали и вычтите: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.

Как найти обратную матрицу 2 × 2?

Поменяйте местами a и d, смените знаки у b и c и разделите всё на определитель ad − bc. Для [1 2; 3 4] получится [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1,5 −0,5].

Можно ли умножить матрицу 2 × 3 на матрицу 3 × 2?

Да. Внутренние размеры совпадают (3 и 3), а ответ берёт внешние, поэтому его размер — 2 × 2.

Почему у моей матрицы нет обратной?

Её определитель равен 0, что бывает, когда одну строку или столбец можно получить из остальных. Такая матрица называется вырожденной.