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Calcolatore di matrici

Inserisci una o due matrici fino a 3 × 3 per sommarle, sottrarle o moltiplicarle, oppure per trovare determinante, inversa o trasposta di A. Tutto è calcolato con frazioni esatte, quindi un’inversa mostra 3/2 e non 1,4999999, e viene scritto il calcolo del determinante o del primo elemento di un prodotto.

Esempi rapidi

Righe separate da punto e virgola, numeri separati da spazi o virgole: 1 2; 3 4. Vanno bene le frazioni come 1/2; per i decimali usa il punto.

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Risultato[19, 22; 43, 50]
Risultato in decimali
[19, 22; 43, 50]
Dimensioni del risultato
2 × 2
Determinante di A
-2
Calcolo
Ogni elemento è una riga di A per una colonna di B: elemento (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

Risultato, riga per riga

RigaColonna 1Colonna 2Colonna 3

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      Formula

      (A ± B) elemento per elemento: (A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ, per matrici delle stesse dimensioni
      (A × B)ᵢⱼ = riga i di A per colonna j di B = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …
      det [a b; c d] = ad − bc
      det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
      A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A); per una 2 × 2, [a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)
      Trasposta: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ, quindi le righe diventano colonne

      Come si usa

      1. Scegli l’operazione.
      2. Scrivi la matrice A riga per riga, con un punto e virgola tra le righe, come 1 2; 3 4. Vanno bene frazioni e decimali (con il punto).
      3. Per A + B, A − B o A × B, scrivi allo stesso modo la matrice B.
      4. Leggi il risultato tra parentesi quadre, riga per riga, oppure nella tabella qui sotto.

      Esempi svolti

      [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

      Risultato
      [19, 22; 43, 50]
      Dimensioni del risultato
      2 × 2
      Determinante di A
      -2
      Calcolo
      Ogni elemento è una riga di A per una colonna di B: elemento (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

      Inversa di [1 2; 3 4], con frazioni esatte

      Risultato
      [-2, 1; 3/2, -1/2]
      Risultato in decimali
      [-2, 1; 1.5, -0.5]

      Determinante di una matrice 3 × 3 con lo sviluppo di Laplace

      Risultato
      -59
      Calcolo
      2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

      Inversa di una matrice 3 × 3 con determinante 5

      Risultato
      [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
      Determinante di A
      5

      Differenza tra due matrici 3 × 3

      Risultato
      [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
      Determinante di A
      0

      Trasposta di una matrice 2 × 3

      Risultato
      [1, 4; 2, 5; 3, 6]
      Dimensioni del risultato
      3 × 2

      Una matrice senza inversa

      Determinante di A
      0
      Calcolo
      Il determinante di A è 0, quindi A non è invertibile

      Regole che fanno inciampare

      La moltiplicazione tra matrici non è commutativa: A × B e B × A di solito sono diverse, e una delle due può addirittura non esistere. A × B richiede che il numero di colonne di A sia uguale al numero di righe di B; una matrice 2 × 3 per una 3 × 2 dà una 2 × 2.

      Solo le matrici quadrate hanno determinante e inversa, e si possono invertire solo quelle con determinante diverso da 0. [1 2; 2 4] ha determinante 1 × 4 − 2 × 2 = 0, perché la seconda riga è il doppio della prima, quindi non ha inversa.

      Come verificare un’inversa

      Moltiplica la matrice per la sua inversa e devi ottenere la matrice identità, con 1 sulla diagonale e 0 altrove. Per [1 2; 3 4] e la sua inversa [−2 1; 3/2 −1/2], la riga 1 per la colonna 1 dà 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1, e la riga 1 per la colonna 2 dà 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0.

      Domande frequenti

      Qual è il determinante di [1 2; 3 4]?

      −2. Si moltiplica lungo ciascuna diagonale e si sottrae: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.

      Come si trova l’inversa di una matrice 2 × 2?

      Si scambiano a e d, si cambiano i segni di b e c e si divide tutto per il determinante ad − bc. Per [1 2; 3 4] si ottiene [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1,5 −0,5].

      Si può moltiplicare una matrice 2 × 3 per una 3 × 2?

      Sì. Le dimensioni interne coincidono (3 e 3) e il risultato ha le dimensioni esterne, quindi è una 2 × 2.

      Perché la mia matrice non ha l’inversa?

      Il suo determinante è 0, cosa che succede quando una riga o una colonna si può ottenere dalle altre. Una matrice così si dice singolare.

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