keencalculator
  1. Strona główna
  2. Matematyka
  3. Kalkulator macierzy

Kalkulator macierzy

Wpisz jedną lub dwie macierze do rozmiaru 3 × 3, aby je dodać, odjąć lub pomnożyć, albo znajdź wyznacznik, macierz odwrotną lub transpozycję macierzy A. Wszystko jest liczone na dokładnych ułamkach, więc macierz odwrotna pokazuje 3/2, a nie 1,4999999, a obliczenia wyznacznika lub pierwszego elementu iloczynu są rozpisane krok po kroku.

Szybkie przykłady

Wiersze oddziel średnikami, liczby spacjami lub przecinkami: 1 2; 3 4. Ułamki, np. 1/2, są dozwolone.

Twoje liczby zostają w przeglądarce. Nigdy nie są wysyłane.
Wynik[19, 22; 43, 50]
Wynik w postaci dziesiętnej
[19, 22; 43, 50]
Rozmiar wyniku
2 × 2
Wyznacznik macierzy A
-2
Obliczenia
Każdy element to wiersz A razy kolumna B: element (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

Wynik wiersz po wierszu

WierszKolumna 1Kolumna 2Kolumna 3

Zapisane ustawienia

Zapisz zestaw danych, których często używasz – swoją stawkę, kredyt, wymiary pokoi – i wczytaj go jednym kliknięciem.

    Twoje ostatnie obliczenia

    Wyniki, które tu obliczysz, są zapisywane na tym urządzeniu, żeby można było do nich wrócić.

      Także jako darmowa aplikacja: iPhone i Mac

      Wzór

      (A ± B) element po elemencie: (A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ, dla macierzy tego samego rozmiaru
      (A × B)ᵢⱼ = wiersz i macierzy A razy kolumna j macierzy B = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …
      det [a b; c d] = ad − bc
      det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
      A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A); dla macierzy 2 × 2: [a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)
      Transpozycja: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ, czyli wiersze stają się kolumnami

      Jak z tego korzystać

      1. Wybierz działanie.
      2. Wpisz macierz A wiersz po wierszu, oddzielając wiersze średnikiem, np. 1 2; 3 4. Ułamki i liczby dziesiętne są dozwolone.
      3. Dla A + B, A − B lub A × B wpisz macierz B w ten sam sposób.
      4. Odczytaj wynik w nawiasach kwadratowych, wiersz po wierszu, albo w tabeli poniżej.

      Przykłady obliczeń

      [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

      Wynik
      [19, 22; 43, 50]
      Rozmiar wyniku
      2 × 2
      Wyznacznik macierzy A
      -2
      Obliczenia
      Każdy element to wiersz A razy kolumna B: element (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

      Macierz odwrotna do [1 2; 3 4] w postaci dokładnych ułamków

      Wynik
      [-2, 1; 3/2, -1/2]
      Wynik w postaci dziesiętnej
      [-2, 1; 1.5, -0.5]

      Wyznacznik macierzy 3 × 3 z rozwinięcia Laplace’a

      Wynik
      -59
      Obliczenia
      2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

      Macierz odwrotna macierzy 3 × 3 o wyznaczniku 5

      Wynik
      [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
      Wyznacznik macierzy A
      5

      Odejmowanie dwóch macierzy 3 × 3

      Wynik
      [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
      Wyznacznik macierzy A
      0

      Transpozycja macierzy 2 × 3

      Wynik
      [1, 4; 2, 5; 3, 6]
      Rozmiar wyniku
      3 × 2

      Macierz bez macierzy odwrotnej

      Wyznacznik macierzy A
      0
      Obliczenia
      Wyznacznik macierzy A jest równy 0, więc nie ma ona macierzy odwrotnej

      Zasady, na których łatwo się potknąć

      Mnożenie macierzy nie jest przemienne: A × B i B × A zwykle się różnią, a jedno z nich może w ogóle nie istnieć. A × B wymaga, by liczba kolumn A była równa liczbie wierszy B; macierz 2 × 3 razy macierz 3 × 2 daje macierz 2 × 2.

      Wyznacznik i macierz odwrotną mają tylko macierze kwadratowe, a odwrócić można tylko te, których wyznacznik jest różny od 0. [1 2; 2 4] ma wyznacznik 1 × 4 − 2 × 2 = 0, bo jej drugi wiersz jest dwukrotnością pierwszego, więc nie ma macierzy odwrotnej.

      Jak sprawdzić macierz odwrotną

      Pomnóż macierz przez jej odwrotną, a wynikiem powinna być macierz jednostkowa, z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią. Dla [1 2; 3 4] i jej odwrotnej [−2 1; 3/2 −1/2] wiersz 1 razy kolumna 1 daje 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1, a wiersz 1 razy kolumna 2 daje 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0.

      Najczęstsze pytania

      Ile wynosi wyznacznik macierzy [1 2; 3 4]?

      −2. Pomnóż elementy na każdej przekątnej i odejmij: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.

      Jak znaleźć macierz odwrotną do macierzy 2 × 2?

      Zamień miejscami a i d, zmień znaki b i c, a wszystko podziel przez wyznacznik ad − bc. Dla [1 2; 3 4] to [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1,5 −0,5].

      Czy można pomnożyć macierz 2 × 3 przez macierz 3 × 2?

      Tak. Wymiary wewnętrzne się zgadzają (3 i 3), a wynik ma wymiary zewnętrzne, czyli jest macierzą 2 × 2.

      Dlaczego moja macierz nie ma macierzy odwrotnej?

      Jej wyznacznik wynosi 0, co zdarza się, gdy jeden wiersz lub jedną kolumnę można otrzymać z pozostałych. Taką macierz nazywa się osobliwą.

      Podobne kalkulatory

      Kalkulator iloczynu wektorowegoIloczyn wektorowy dwóch wektorów 3D, z długością, iloczynem skalarnym i kątem.Kalkulator naukowyWpisz dowolne wyrażenie: trygonometria w stopniach lub radianach, logarytmy, potęgi, pierwiastki, silnie.Kalkulator ułamkówDodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie dwóch ułamków — w pełni skrócone.Kalkulator równania kwadratowegoRozwiąż ax² + bx + c = 0 — pierwiastki rzeczywiste lub zespolone, delta, wierzchołek.Kalkulator regresji liniowejProsta najlepszego dopasowania, r² i prognoza z danych w parach.