Matrizenrechner

Formel

(A ± B) Eintrag für Eintrag: (A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ, für Matrizen gleicher Größe

(A × B)ᵢⱼ = Zeile i von A mal Spalte j von B = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …

det [a b; c d] = ad − bc

det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A); für eine 2 × 2-Matrix gilt [a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)

Transponierte: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ, aus Zeilen werden also Spalten

So geht’s

Wähle die Rechenoperation.
Gib Matrix A Zeile für Zeile ein, mit einem Semikolon zwischen den Zeilen, etwa 1 2; 3 4. Brüche und Dezimalzahlen sind möglich.
Gib für A + B, A − B oder A × B die Matrix B auf dieselbe Weise ein.
Lies das Ergebnis in Klammern Zeile für Zeile ab oder in der Tabelle darunter.

Rechenbeispiele

[1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

Ergebnis: [19, 22; 43, 50]
Größe des Ergebnisses: 2 × 2
Determinante von A: -2
Rechenweg: Jeder Eintrag ist eine Zeile von A mal eine Spalte von B: Eintrag (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

Inverse von [1 2; 3 4] als exakte Brüche

Ergebnis: [-2, 1; 3/2, -1/2]
Ergebnis als Dezimalzahlen: [-2, 1; 1.5, -0.5]

Determinante einer 3 × 3-Matrix per Kofaktorentwicklung

Ergebnis: -59
Rechenweg: 2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

Inverse einer 3 × 3-Matrix mit Determinante 5

Ergebnis: [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
Determinante von A: 5

Zwei 3 × 3-Matrizen subtrahieren

Ergebnis: [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
Determinante von A: 0

Transponierte einer 2 × 3-Matrix

Ergebnis: [1, 4; 2, 5; 3, 6]
Größe des Ergebnisses: 3 × 2

Eine Matrix ohne Inverse

Determinante von A: 0
Rechenweg: Die Determinante von A ist 0, also hat A keine Inverse

Regeln, über die man leicht stolpert

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ: A × B und B × A sind meist verschieden, und eines von beiden existiert womöglich gar nicht. Für A × B muss die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B sein; eine 2 × 3-Matrix mal eine 3 × 2-Matrix ergibt eine 2 × 2-Matrix.

Nur quadratische Matrizen haben eine Determinante und eine Inverse, und nur solche mit einer Determinante ungleich 0 lassen sich invertieren. [1 2; 2 4] hat die Determinante 1 × 4 − 2 × 2 = 0, weil ihre zweite Zeile das Doppelte der ersten ist, und hat daher keine Inverse.

Eine Inverse überprüfen

Multipliziere die Matrix mit ihrer Inversen, und du solltest die Einheitsmatrix erhalten, mit Einsen in der Diagonale und Nullen überall sonst. Für [1 2; 3 4] und ihre Inverse [−2 1; 3/2 −1/2] ergibt Zeile 1 mal Spalte 1 den Wert 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1, und Zeile 1 mal Spalte 2 den Wert 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0.

Häufige Fragen

Was ist die Determinante von [1 2; 3 4]?

−2. Multipliziere entlang jeder Diagonale und subtrahiere: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.

Wie finde ich die Inverse einer 2 × 2-Matrix?

Vertausche a und d, ändere die Vorzeichen von b und c und teile alles durch die Determinante ad − bc. Für [1 2; 3 4] ergibt das [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1,5 −0,5].

Kann man eine 2 × 3-Matrix mit einer 3 × 2-Matrix multiplizieren?

Ja. Die inneren Größen stimmen überein (3 und 3), und das Ergebnis übernimmt die äußeren Größen, ist also 2 × 2.

Warum hat meine Matrix keine Inverse?

Ihre Determinante ist 0, was vorkommt, wenn sich eine Zeile oder Spalte aus den anderen bilden lässt. Eine solche Matrix heißt singulär.

Ergebnis, Zeile für Zeile

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