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Kreuzprodukt-Rechner
Berechne das Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren. Gib die Komponenten von a und b ein und erhalte den Vektor a × b, seinen Betrag, das Skalarprodukt und den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
- Betrag |a × b|
- 7,348469
- Skalarprodukt a · b
- 56
- Winkel zwischen a und b
- 7,4758 °
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Formel
So geht’s
- Gib die drei Komponenten von Vektor a ein, durch Kommas getrennt.
- Gib die drei Komponenten von Vektor b ein.
- Lies das Kreuzprodukt ab. Für einen Vektor in der x-y-Ebene gibst du nur zwei Komponenten ein.
Rechenbeispiele
(2, 3, 4) × (5, 6, 7)
- a × b
- (-3, 6, -3)
- Betrag |a × b|
- 7,348469
- Skalarprodukt a · b
- 56
- Winkel zwischen a und b
- 7,4758 °
Die Einheitsvektoren in x- und y-Richtung
- a × b
- (0, 0, 1)
- Betrag |a × b|
- 1
- Skalarprodukt a · b
- 0
- Winkel zwischen a und b
- 90 °
(3, −3, 1) × (4, 9, 2)
- a × b
- (-15, -2, 39)
- Skalarprodukt a · b
- -13
Eigenschaften des Kreuzprodukts
Das Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht auf a und b steht und nach der Rechte-Hand-Regel zeigt. Vertauschst du die Reihenfolge, kehrt sich seine Richtung um: b × a = −(a × b). Sind a und b parallel, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor.
Seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten a und b; die Hälfte davon ist der Flächeninhalt des Dreiecks, das sie bilden.
Wo es verwendet wird
Das Drehmoment ist das Kreuzprodukt aus Hebelarm und Kraft. In der 3D-Grafik liefert das Kreuzprodukt zweier Dreieckskanten die Flächennormale, die für die Beleuchtung gebraucht wird.
Bei zwei Vektoren in der x-y-Ebene ist nur die z-Komponente ungleich null, und sie ist a₁b₂ − a₂b₁.
Häufige Fragen
Was ist das Kreuzprodukt von (2, 3, 4) und (5, 6, 7)?
(−3, 6, −3). Sein Betrag beträgt etwa 7,348.
Was ist i × j?
k. Das Kreuzprodukt des Einheitsvektors in x-Richtung mit dem in y-Richtung ist der Einheitsvektor in z-Richtung: (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1).
Was ist der Unterschied zwischen Kreuzprodukt und Skalarprodukt?
Das Skalarprodukt ist eine einzelne Zahl, die am größten ist, wenn die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen; das Kreuzprodukt ist ein Vektor, der am größten ist, wenn sie senkrecht aufeinander stehen.