矢量外积计算器
计算两个三维矢量的外积。输入 a 与 b 的分量，就能得到矢量 a × b、它的长度、两矢量的内积，以及它们之间的夹角。
- 长度 |a × b|
- 7.348469
- 内积 a · b
- 56
- a 与 b 的夹角
- 7.4758 °
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公式
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)
|a × b| = |a| × |b| × sin θ
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a| × |b| × cos θ
使用方式
- 输入矢量 a 的三个分量，以逗号分隔。
- 输入矢量 b 的三个分量。
- 查看外积。如果矢量在 x–y 平面上，只输入两个分量即可。
计算范例
(2, 3, 4) × (5, 6, 7)
- a × b
- (-3, 6, -3)
- 长度 |a × b|
- 7.348469
- 内积 a · b
- 56
- a 与 b 的夹角
- 7.4758 °
x 轴与 y 轴方向的单位矢量
- a × b
- (0, 0, 1)
- 长度 |a × b|
- 1
- 内积 a · b
- 0
- a 与 b 的夹角
- 90 °
(3, −3, 1) × (4, 9, 2)
- a × b
- (-15, -2, 39)
- 内积 a · b
- -13
外积的性质
外积是一个同时垂直于 a 和 b 的矢量，方向由右手定则决定。交换顺序会让方向相反：b × a = −(a × b)。如果 a 和 b 平行，外积是零矢量。
外积的长度等于以 a、b 为边的平行四边形面积；它的一半就是两矢量所形成的三角形面积。
用在哪里
力矩是力臂与力的外积。在 3D 绘图中，三角形两边的外积就是用来计算光照的表面法矢量。
对 x–y 平面上的两个矢量来说，只有 z 分量不为零，它等于 a₁b₂ − a₂b₁。
常见问题
(2, 3, 4) 和 (5, 6, 7) 的外积是多少？
(−3, 6, −3)。它的长度约为 7.348。
i × j 是多少？
k。x 方向的单位矢量与 y 方向的单位矢量的外积，是 z 方向的单位矢量：(1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)。
外积和内积有什么不同？
内积是一个数，两矢量方向相同时最大；外积是一个矢量，两矢量互相垂直时最大。