向量外積計算機
計算兩個三維向量的外積。輸入 a 與 b 的分量，就能得到向量 a × b、它的長度、兩向量的內積，以及它們之間的夾角。
- 長度 |a × b|
- 7.348469
- 內積 a · b
- 56
- a 與 b 的夾角
- 7.4758 °
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公式
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)
|a × b| = |a| × |b| × sin θ
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a| × |b| × cos θ
使用方式
- 輸入向量 a 的三個分量，以逗號分隔。
- 輸入向量 b 的三個分量。
- 查看外積。如果向量在 x–y 平面上，只輸入兩個分量即可。
計算範例
(2, 3, 4) × (5, 6, 7)
- a × b
- (-3, 6, -3)
- 長度 |a × b|
- 7.348469
- 內積 a · b
- 56
- a 與 b 的夾角
- 7.4758 °
x 軸與 y 軸方向的單位向量
- a × b
- (0, 0, 1)
- 長度 |a × b|
- 1
- 內積 a · b
- 0
- a 與 b 的夾角
- 90 °
(3, −3, 1) × (4, 9, 2)
- a × b
- (-15, -2, 39)
- 內積 a · b
- -13
外積的性質
外積是一個同時垂直於 a 和 b 的向量，方向由右手定則決定。交換順序會讓方向相反：b × a = −(a × b)。如果 a 和 b 平行，外積是零向量。
外積的長度等於以 a、b 為邊的平行四邊形面積；它的一半就是兩向量所形成的三角形面積。
用在哪裡
力矩是力臂與力的外積。在 3D 繪圖中，三角形兩邊的外積就是用來計算光照的表面法向量。
對 x–y 平面上的兩個向量來說，只有 z 分量不為零，它等於 a₁b₂ − a₂b₁。
常見問題
(2, 3, 4) 和 (5, 6, 7) 的外積是多少？
(−3, 6, −3)。它的長度約為 7.348。
i × j 是多少？
k。x 方向的單位向量與 y 方向的單位向量的外積，是 z 方向的單位向量：(1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)。
外積和內積有什麼不同？
內積是一個數，兩向量方向相同時最大；外積是一個向量，兩向量互相垂直時最大。