Калькулятор векторного произведения

Формула

a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

|a × b| = |a| × |b| × sin θ

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a| × |b| × cos θ

Как пользоваться

Введите три компоненты вектора a через запятую.
Введите три компоненты вектора b.
Прочитайте векторное произведение. Для вектора в плоскости x–y введите только две компоненты.

Примеры расчётов

(2, 3, 4) × (5, 6, 7)

a × b: (-3, 6, -3)
Длина |a × b|: 7,348469
Скалярное произведение a · b: 56
Угол между a и b: 7,4758 °

Единичные векторы вдоль x и y

a × b: (0, 0, 1)
Длина |a × b|: 1
Скалярное произведение a · b: 0
Угол между a и b: 90 °

(3, −3, 1) × (4, 9, 2)

a × b: (-15, -2, 39)
Скалярное произведение a · b: -13

Свойства векторного произведения

Результат — вектор, перпендикулярный и a, и b, направленный по правилу правой руки. Если поменять порядок, направление меняется на противоположное: b × a = −(a × b). Если a и b параллельны, векторное произведение — нулевой вектор.

Его длина равна площади параллелограмма со сторонами a и b; половина этой величины — площадь образуемого ими треугольника.

Где применяется

Момент силы — это векторное произведение плеча рычага и силы. В трёхмерной графике векторное произведение двух сторон треугольника даёт нормаль к поверхности, которая используется при расчёте освещения.

Для двух векторов в плоскости x–y ненулевой остаётся только компонента z, и она равна a₁b₂ − a₂b₁.

Частые вопросы

Чему равно векторное произведение (2, 3, 4) и (5, 6, 7)?

(−3, 6, −3). Его длина примерно равна 7,348.

Чему равно i × j?

k. Единичный вектор вдоль x, умноженный векторно на единичный вектор вдоль y, даёт единичный вектор вдоль z: (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1).

Чем векторное произведение отличается от скалярного?

Скалярное произведение — это одно число, которое наибольшее, когда векторы направлены в одну сторону; векторное произведение — это вектор, длина которого наибольшая, когда векторы перпендикулярны.