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Calculadora de matrices

Introduce una o dos matrices de hasta 3 × 3 para sumarlas, restarlas o multiplicarlas, o para hallar el determinante, la inversa o la traspuesta de A. Todo se calcula con fracciones exactas, así que una inversa muestra 3/2 y no 1,4999999, y se escribe el desarrollo del determinante o del primer elemento de un producto.

Ejemplos rápidos

Filas separadas por punto y coma y números separados por espacios o comas: 1 2; 3 4. Las fracciones como 1/2 sirven; para decimales usa punto (0.5).

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Resultado[19, 22; 43, 50]
Resultado en decimales
[19, 22; 43, 50]
Tamaño del resultado
2 × 2
Determinante de A
-2
Desarrollo
Cada elemento es una fila de A por una columna de B: elemento (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

Resultado, fila por fila

FilaColumna 1Columna 2Columna 3

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      Fórmula

      (A ± B) elemento a elemento: (A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ, para matrices del mismo tamaño
      (A × B)ᵢⱼ = fila i de A por columna j de B = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …
      det [a b; c d] = ad − bc
      det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
      A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A); en una 2 × 2, [a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)
      Traspuesta: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ, es decir, las filas pasan a ser columnas

      Cómo se usa

      1. Elige la operación.
      2. Escribe la matriz A fila por fila, con un punto y coma entre filas, por ejemplo 1 2; 3 4. Se admiten fracciones y decimales.
      3. Para A + B, A − B o A × B, escribe la matriz B de la misma manera.
      4. Lee el resultado entre corchetes, fila por fila, o en la tabla de abajo.

      Ejemplos resueltos

      [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

      Resultado
      [19, 22; 43, 50]
      Tamaño del resultado
      2 × 2
      Determinante de A
      -2
      Desarrollo
      Cada elemento es una fila de A por una columna de B: elemento (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

      Inversa de [1 2; 3 4], con fracciones exactas

      Resultado
      [-2, 1; 3/2, -1/2]
      Resultado en decimales
      [-2, 1; 1.5, -0.5]

      Determinante de una matriz 3 × 3 por cofactores

      Resultado
      -59
      Desarrollo
      2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

      Inversa de una matriz 3 × 3 de determinante 5

      Resultado
      [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
      Determinante de A
      5

      Resta de dos matrices 3 × 3

      Resultado
      [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
      Determinante de A
      0

      Traspuesta de una matriz 2 × 3

      Resultado
      [1, 4; 2, 5; 3, 6]
      Tamaño del resultado
      3 × 2

      Una matriz sin inversa

      Determinante de A
      0
      Desarrollo
      El determinante de A es 0, así que A no tiene inversa

      Reglas con las que se suele tropezar

      La multiplicación de matrices no es conmutativa: A × B y B × A suelen ser distintas, y una de ellas puede incluso no existir. A × B exige que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B; una matriz de 2 × 3 por una de 3 × 2 da una de 2 × 2.

      Solo las matrices cuadradas tienen determinante e inversa, y solo se pueden invertir las de determinante distinto de 0. [1 2; 2 4] tiene determinante 1 × 4 − 2 × 2 = 0, porque su segunda fila es el doble de la primera, así que no tiene inversa.

      Cómo comprobar una inversa

      Multiplica la matriz por su inversa y deberías obtener la matriz identidad, con 1 en la diagonal y 0 en el resto. Para [1 2; 3 4] y su inversa [−2 1; 3/2 −1/2], la fila 1 por la columna 1 es 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1, y la fila 1 por la columna 2 es 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0.

      Preguntas frecuentes

      ¿Cuál es el determinante de [1 2; 3 4]?

      −2. Multiplica en cada diagonal y resta: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.

      ¿Cómo se halla la inversa de una matriz 2 × 2?

      Intercambia a y d, cambia los signos de b y c, y divide todo entre el determinante ad − bc. Para [1 2; 3 4] queda [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1,5 −0,5].

      ¿Se puede multiplicar una matriz de 2 × 3 por una de 3 × 2?

      Sí. Los tamaños interiores coinciden (3 y 3) y la respuesta toma los tamaños exteriores, así que es de 2 × 2.

      ¿Por qué mi matriz no tiene inversa?

      Su determinante es 0, lo que ocurre cuando una fila o una columna se puede obtener a partir de las demás. A una matriz así se la llama singular.

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