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Calculadora de Matrizes

Informe uma ou duas matrizes de até 3 × 3 para somá-las, subtraí-las ou multiplicá-las, ou para achar o determinante, a inversa ou a transposta de A. Tudo é calculado com frações exatas, então uma inversa mostra 3/2 em vez de 1,4999999, e o desenvolvimento do determinante ou do primeiro elemento de um produto aparece escrito.

Exemplos rápidos

Linhas separadas por ponto e vírgula, números separados por espaços ou vírgulas: 1 2; 3 4. Frações como 1/2 são aceitas; em decimais, use ponto (0.5).

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Resultado[19, 22; 43, 50]
Resultado em decimais
[19, 22; 43, 50]
Tamanho do resultado
2 × 2
Determinante de A
-2
Desenvolvimento
Cada elemento é uma linha de A vezes uma coluna de B: elemento (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

Resultado, linha por linha

LinhaColuna 1Coluna 2Coluna 3

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      Fórmula

      (A ± B) elemento a elemento: (A ± B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ ± Bᵢⱼ, para matrizes do mesmo tamanho
      (A × B)ᵢⱼ = linha i de A vezes coluna j de B = Aᵢ₁B₁ⱼ + Aᵢ₂B₂ⱼ + …
      det [a b; c d] = ad − bc
      det [a b c; d e f; g h i] = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
      A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A); para uma 2 × 2, [a b; c d]⁻¹ = [d −b; −c a] ÷ (ad − bc)
      Transposta: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ, ou seja, as linhas viram colunas

      Como usar

      1. Escolha a operação.
      2. Digite a matriz A linha por linha, com ponto e vírgula entre as linhas, como em 1 2; 3 4. Frações e decimais são aceitos.
      3. Para A + B, A − B ou A × B, digite a matriz B do mesmo jeito.
      4. Veja o resultado entre colchetes, linha por linha, ou na tabela abaixo.

      Exemplos resolvidos

      [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8]

      Resultado
      [19, 22; 43, 50]
      Tamanho do resultado
      2 × 2
      Determinante de A
      -2
      Desenvolvimento
      Cada elemento é uma linha de A vezes uma coluna de B: elemento (1, 1) = 1 × 5 + 2 × 7 = 19

      Inversa de [1 2; 3 4], em frações exatas

      Resultado
      [-2, 1; 3/2, -1/2]
      Resultado em decimais
      [-2, 1; 1.5, -0.5]

      Determinante de uma matriz 3 × 3 por expansão em cofatores

      Resultado
      -59
      Desenvolvimento
      2(4 × 0 − 1 × 2) − 1(0 × 0 − 1 × 5) + 3(0 × 2 − 4 × 5) = 2 × (-2) − 1 × (-5) + 3 × (-20) = -59

      Inversa de uma matriz 3 × 3 com determinante 5

      Resultado
      [1/5, 3/5, -1/5; -1/5, 2/5, 1/5; 3/5, -6/5, 2/5]
      Determinante de A
      5

      Subtração de duas matrizes 3 × 3

      Resultado
      [-8, -6, -4; -2, 0, 2; 4, 6, 8]
      Determinante de A
      0

      Transposta de uma matriz 2 × 3

      Resultado
      [1, 4; 2, 5; 3, 6]
      Tamanho do resultado
      3 × 2

      Uma matriz sem inversa

      Determinante de A
      0
      Desenvolvimento
      O determinante de A é 0, então A não tem inversa

      Regras que costumam confundir

      A multiplicação de matrizes não é comutativa: A × B e B × A normalmente são diferentes, e uma delas pode nem existir. Para A × B, o número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas de B; uma matriz 2 × 3 vezes uma matriz 3 × 2 dá uma 2 × 2.

      Só matrizes quadradas têm determinante e inversa, e só as de determinante diferente de 0 podem ser invertidas. A matriz [1 2; 2 4] tem determinante 1 × 4 − 2 × 2 = 0, porque a segunda linha é o dobro da primeira, então não tem inversa.

      Conferindo uma inversa

      Multiplique a matriz pela sua inversa e você deve obter a matriz identidade, com 1 na diagonal e 0 em todo o resto. Para [1 2; 3 4] e sua inversa [−2 1; 3/2 −1/2], a linha 1 vezes a coluna 1 é 1 × (−2) + 2 × 3/2 = 1, e a linha 1 vezes a coluna 2 é 1 × 1 + 2 × (−1/2) = 0.

      Perguntas frequentes

      Qual é o determinante de [1 2; 3 4]?

      −2. Multiplique em cada diagonal e subtraia: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.

      Como achar a inversa de uma matriz 2 × 2?

      Troque a e d de lugar, mude os sinais de b e c e divida tudo pelo determinante ad − bc. Para [1 2; 3 4], fica [4 −2; −3 1] ÷ (−2) = [−2 1; 1,5 −0,5].

      Dá para multiplicar uma matriz 2 × 3 por uma 3 × 2?

      Dá. Os tamanhos internos coincidem (3 e 3), e a resposta tem os tamanhos externos, ou seja, é 2 × 2.

      Por que a minha matriz não tem inversa?

      O determinante dela é 0, o que acontece quando uma linha ou coluna pode ser formada a partir das outras. Uma matriz assim é chamada de singular.

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