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Statistikrechner
Füge eine Zahlenreihe ein oder tippe sie ein und erhalte alle gängigen Kennzahlen auf einmal: Anzahl, Summe, Mittelwert, Median, Modalwert, Minimum, Maximum und Spannweite, Standardabweichung und Varianz von Stichprobe und Grundgesamtheit, Quartile, Quartilsabstand und Ausreißer. Eine Tabelle zeigt die Abweichung jedes Werts vom Mittelwert, sodass du nachvollziehen kannst, wie die Varianz entsteht.
- Median
- 85
- Modalwert
- 85
- Anzahl (n)
- 10
- Summe
- 836
- Minimum
- 66
- Maximum
- 95
- Spannweite
- 29
- Stichproben-Standardabweichung (s)
- 9,0823
- Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ)
- 8,6163
- Stichprobenvarianz (s²)
- 82,4889
- Varianz der Grundgesamtheit (σ²)
- 74,24
- Erstes Quartil (Q1)
- 78
- Drittes Quartil (Q3)
- 90
- Quartilsabstand (IQR)
- 12
- Ausreißer (1,5-×-IQR-Regel)
- Keine
- Standardfehler des Mittelwerts
- 2,8721
- Variationskoeffizient
- 10,86%
- Sortiert
- 66, 72, 78, 85, 85, 85, 88, 90, 92, 95
Abweichungen vom Mittelwert
| Nr. | Wert (x) | x − Mittelwert | (x − Mittelwert)² |
|---|
Gespeicherte Eingaben
Speichere Eingaben, die du öfter brauchst – deinen üblichen Stundensatz, deinen Kredit, die Maße deiner Zimmer – und lade sie mit einem Tipp wieder.
Deine letzten Berechnungen
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Formel
So geht’s
- Tippe deine Zahlen ein oder füge sie ein, getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche.
- Lies Mittelwert und die übrigen Kennzahlen ab. Quartile und Ausreißer erscheinen ab vier Werten.
- Prüfe die Varianz mit der Abweichungstabelle von Hand: Addiere die quadrierten Abweichungen und teile durch n oder durch n − 1.
Rechenbeispiele
Zehn Testergebnisse
- Mittelwert (Durchschnitt)
- 83,6
- Median
- 85
- Modalwert
- 85
- Anzahl (n)
- 10
- Summe
- 836
- Spannweite
- 29
- Stichprobenvarianz (s²)
- 82,4889
- Varianz der Grundgesamtheit (σ²)
- 74,24
- Stichproben-Standardabweichung (s)
- 9,0823
- Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ)
- 8,6163
- Erstes Quartil (Q1)
- 78
- Drittes Quartil (Q3)
- 90
- Quartilsabstand (IQR)
- 12
- Ausreißer (1,5-×-IQR-Regel)
- Keine
- Standardfehler des Mittelwerts
- 2,8721
- Variationskoeffizient
- 10,86%
Die Lehrbuch-Datenreihe 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
- Mittelwert (Durchschnitt)
- 5
- Median
- 4,5
- Modalwert
- 4
- Spannweite
- 7
- Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ)
- 2
- Varianz der Grundgesamtheit (σ²)
- 4
- Stichprobenvarianz (s²)
- 4,5714
- Stichproben-Standardabweichung (s)
- 2,1381
- Erstes Quartil (Q1)
- 4
- Drittes Quartil (Q3)
- 6
- Quartilsabstand (IQR)
- 2
- Ausreißer (1,5-×-IQR-Regel)
- Keine
Zehn Werte, einer davon weit von den übrigen entfernt
- Mittelwert (Durchschnitt)
- 19,5
- Median
- 16,5
- Modalwert
- 15
- Erstes Quartil (Q1)
- 15
- Drittes Quartil (Q3)
- 19
- Quartilsabstand (IQR)
- 4
- Ausreißer (1,5-×-IQR-Regel)
- 48
Stichprobe oder Grundgesamtheit?
Nimm die Werte der Grundgesamtheit, wenn deine Liste die gesamte Gruppe umfasst, die dich interessiert, etwa alle Schülerinnen und Schüler einer Klasse. Nimm die Stichprobenwerte, wenn die Liste nur ein Teil einer größeren Gruppe ist, die du beschreiben willst, etwa 50 Kunden von mehreren Tausend. Die Teilung durch n − 1 statt durch n (Bessel-Korrektur) verhindert, dass die Stichprobenvarianz die Streuung der ganzen Gruppe unterschätzt.
Bei den zehn Testergebnissen im ersten Beispiel ergeben die quadrierten Abweichungen zusammen 742,4. Geteilt durch 10 ergibt das eine Varianz der Grundgesamtheit von 74,24 und eine Standardabweichung von 8,62; geteilt durch 9 sind es 82,49 und 9,08.
Welchen Mittelwert du angeben solltest
Der Mittelwert berücksichtigt jeden Wert, deshalb zieht ein einzelner Extremwert ihn mit. Im Beispiel mit dem Ausreißer liegt der Mittelwert bei 19,5, der Median aber bei 16,5, wegen der 48. Bei schiefen Daten wie Einkommen oder Immobilienpreisen ist meist der Median die bessere Zusammenfassung. Der Modalwert ist vor allem bei wiederholten Werten nützlich, etwa bei der häufigsten Schuhgröße.
Wie die Quartile berechnet werden
Q1 und Q3 sind die Mediane der unteren und der oberen Hälfte der sortierten Daten; bei ungerader Anzahl bleibt der mittlere Wert außen vor. Diese Methode verwenden die Taschenrechner TI-83 und TI-84 sowie die meisten US-Lehrbücher. Funktionen in Tabellenkalkulationen wie QUARTILE.INC in Excel interpolieren dagegen und können bei kleinen Datenmengen leicht abweichende Werte liefern.
Häufige Fragen
Wie finde ich Mittelwert, Median und Modalwert?
Mittelwert: Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Median: Werte sortieren und den mittleren nehmen, bei gerader Anzahl den Durchschnitt der beiden mittleren. Modalwert: der Wert, der am häufigsten vorkommt. Für 72, 85, 90, 66, 85, 78, 92, 88, 95, 85 sind das 83,6, 85 und 85.
Wie groß ist die Standardabweichung von 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9?
2 als Standardabweichung der Grundgesamtheit oder etwa 2,138 als Stichproben-Standardabweichung. Der Mittelwert ist 5, die quadrierten Abweichungen ergeben zusammen 32; 32 ÷ 8 = 4 und √4 = 2.
Was gilt als Ausreißer?
Nach der gängigen 1,5-×-IQR-Regel jeder Wert, der mehr als das 1,5-Fache des Quartilsabstands unter Q1 oder über Q3 liegt. Bei 12, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 48 liegt die obere Grenze bei 19 + 1,5 × 4 = 25, also ist 48 ein Ausreißer.
Warum liefern mein Taschenrechner und Excel unterschiedliche Standardabweichungen?
Vermutlich verwendet das eine Gerät die Stichprobenformel (in Excel STABW.S) und das andere die Formel für die Grundgesamtheit (STABW.N). Dieser Rechner zeigt beide.