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统计计算器

粘贴或输入一组数字，一次得到常用的全部汇总统计量：个数、总和、平均数、中位数、众数、最小值、最大值和极差，样本与总体的标准差和方差，四分位数、四分位距以及离群值。表格会列出每个数值与平均数的偏差，方便你看清方差是怎么算出来的。

快速范例

数值之间用逗号、空格或换行分隔，可以直接从表格里粘贴整列数据。

你输入的数字只留在浏览器里，不会上传。
平均数（均值）83.6
中位数
85
众数
85
个数（n）
10
总和
836
最小值
66
最大值
95
极差
29
样本标准差（s）
9.0823
总体标准差（σ）
8.6163
样本方差（s²）
82.4889
总体方差（σ²）
74.24
第一四分位数（Q1）
78
第三四分位数（Q3）
90
四分位距（IQR）
12
离群值（1.5 × IQR 法则）
无
均值的标准误
2.8721
变异系数
10.86%
从小到大排序
66, 72, 78, 85, 85, 85, 88, 90, 92, 95

与平均数的偏差

#数值（x）x − 平均数(x − 平均数)²

已保存的设置

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    你最近的计算

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      公式

      平均数 x̄ = Σx ÷ n
      中位数 = 排序后的中间值；n 为偶数时取中间两个值的平均数
      总体方差 σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n；样本方差 s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)
      标准差 = √方差
      标准误 = s ÷ √n；变异系数 = s ÷ x̄ × 100%
      IQR = Q3 − Q1；离群值小于 Q1 − 1.5 × IQR 或大于 Q3 + 1.5 × IQR

      使用方式

      1. 输入或粘贴你的数字，用逗号、空格或换行分隔。
      2. 查看平均数和其他汇总结果。数值至少有四个时，才会显示四分位数和离群值。
      3. 用偏差表手算验证方差：把偏差的平方加起来，再除以 n 或 n − 1。

      计算范例

      十个考试成绩

      平均数（均值）
      83.6
      中位数
      85
      众数
      85
      个数（n）
      10
      总和
      836
      极差
      29
      样本方差（s²）
      82.4889
      总体方差（σ²）
      74.24
      样本标准差（s）
      9.0823
      总体标准差（σ）
      8.6163
      第一四分位数（Q1）
      78
      第三四分位数（Q3）
      90
      四分位距（IQR）
      12
      离群值（1.5 × IQR 法则）
      无
      均值的标准误
      2.8721
      变异系数
      10.86%

      教科书里的经典数据 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

      平均数（均值）
      5
      中位数
      4.5
      众数
      4
      极差
      7
      总体标准差（σ）
      2
      总体方差（σ²）
      4
      样本方差（s²）
      4.5714
      样本标准差（s）
      2.1381
      第一四分位数（Q1）
      4
      第三四分位数（Q3）
      6
      四分位距（IQR）
      2
      离群值（1.5 × IQR 法则）
      无

      十个数值，其中一个远离其他数值

      平均数（均值）
      19.5
      中位数
      16.5
      众数
      15
      第一四分位数（Q1）
      15
      第三四分位数（Q3）
      19
      四分位距（IQR）
      4
      离群值（1.5 × IQR 法则）
      48

      用样本还是总体？

      如果你的这组数据就是你关心的全部对象，比如一个班里的每一位学生，就用总体的结果。如果这组数据只是你想描述的更大群体中的一部分，比如几千名顾客中的 50 位，就用样本的结果。除以 n − 1 而不是 n（贝塞尔校正），可以避免样本方差低估整个群体的离散程度。

      第一个示例中的十个考试成绩，偏差的平方和为 742.4。除以 10 得到总体方差 74.24，标准差 8.62；除以 9 则是 82.49 和 9.08。

      该报告哪一种平均

      平均数用到了每一个数值，所以一个极端值就会把它拉偏。在含离群值的示例中，平均数是 19.5，而中位数是 16.5，原因就是那个 48。对于收入、房价这类偏态数据，中位数通常是更好的概括。众数最适合用在有重复值的场合，比如最常见的鞋码。

      四分位数是怎么算的

      Q1 和 Q3 分别是排序后数据下半部分和上半部分的中位数；个数为奇数时，中间那个值不计入。这是 TI-83、TI-84 计算器以及大多数美国教科书采用的方法。而 Excel 的 QUARTILE.INC 等表格函数采用插值法，在数据较少时可能会得到略有不同的结果。

      常见问题

      怎么求平均数、中位数和众数？

      平均数：把所有数值相加再除以个数。中位数：排序后取中间那个值，或取中间两个值的平均数。众数：出现次数最多的值。对 72, 85, 90, 66, 85, 78, 92, 88, 95, 85 来说，分别是 83.6、85 和 85。

      2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 的标准差是多少？

      作为总体标准差是 2，作为样本标准差约为 2.138。平均数是 5，偏差的平方和为 32；32 ÷ 8 = 4，√4 = 2。

      什么样的数值算离群值？

      按常用的 1.5 × IQR 法则，比 Q1 小或比 Q3 大超过 1.5 个四分位距的值就是离群值。在 12, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 48 中，上界是 19 + 1.5 × 4 = 25，所以 48 是离群值。

      为什么我的计算器和 Excel 算出的标准差不一样？

      很可能一个用了样本公式（Excel 的 STDEV.S），另一个用了总体公式（STDEV.P）。本计算器两种都会给出。

      相关计算器

      标准差计算器样本标准差与母体标准差并列显示。平均数、中位数、众数计算器一次算出数据的平均数、中位数、众数与全距。四分位数计算器数据的 Q1、中位数、Q3、四分位距与离群值界限。变异数计算器一组数据的样本变异数与母体变异数。Z 分数计算器由数值求 z 分数，或由百分位数求 z 分数与数值。平均数计算器一串数字的平均数，附总和与个数。