等比数列计算器
等比数列的每一项都是前一项乘以相同的比。输入首项、公比与项数，就能得到那一项的值、到那一项为止的总和，以及——公比介于 −1 与 1 之间时——无穷级数的和。
- 前 n 项和（Sₙ）
- 765
- 无穷级数的和
- —
- 数列
- 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
已保存的设置
把常用的输入存起来——你的时薪、你的贷款、你家的房间尺寸——下次点一下就能加载。
你最近的计算
你在这里算过的结果会保存在这台设备上，方便之后回来查看。
公式
第 n 项：aₙ = a₁ × r^(n − 1)
前 n 项和：Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r)，r ≠ 1
无穷级数的和：S = a₁ ÷ (1 − r)，只在 −1 < r < 1 时成立
使用方式
- 输入首项。
- 输入公比——把任何一项除以它的前一项。
- 输入你要求的是第几项，n。
- 查看第 n 项、部分和，以及存在时的无穷级数和。
计算范例
3, 6, 12, 24 … 的第 8 项
- 第 n 项（aₙ）
- 384
- 前 n 项和（Sₙ）
- 765
- 数列
- 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
100, 50, 25 … 的前六项，以及无穷级数的和
- 第 n 项（aₙ）
- 3.125
- 前 n 项和（Sₙ）
- 196.875
- 无穷级数的和
- 200
无穷级数的和什么时候存在
公比介于 −1 与 1 之间时，各项会愈来愈接近零，总和会趋近一个有限的值。100 + 50 + 25 + … 永远不会超过 200。同一个公式也说明了 0.999… = 0.9 ÷ (1 − 0.1) = 1。
公比大于等于 1（或小于等于 −1）时，各项不会缩小，总和没有极限。
倍增累积得有多快
在棋盘的第一格放一粒米，之后 64 格每格都加倍，总共是 2⁶⁴ − 1 = 18,446,744,073,709,551,615 粒。公比为负时，各项会正负交替：3, −6, 12, −24。
常见问题
3, 6, 12, 24… 的第 8 项是多少？
384。首项是 3、公比是 2，a₈ = 3 × 2⁷。
3, 6, 12, 24… 的前 8 项和是多少？
765，由 3 × (2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) 得到。
100, 50, 25… 的无穷级数和是多少？
200，由 100 ÷ (1 − 0.5) 得到。