等比數列計算機
等比數列的每一項都是前一項乘以相同的比。輸入首項、公比與項數，就能得到那一項的值、到那一項為止的總和，以及——公比介於 −1 與 1 之間時——無窮級數的和。
- 前 n 項和（Sₙ）
- 765
- 無窮級數的和
- —
- 數列
- 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
已儲存的設定
把常用的輸入存起來——你的時薪、你的貸款、你家的房間尺寸——下次點一下就能載入。
你最近的計算
你在這裡算過的結果會保存在這台裝置上，方便之後回來查看。
公式
第 n 項：aₙ = a₁ × r^(n − 1)
前 n 項和：Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r)，r ≠ 1
無窮級數的和：S = a₁ ÷ (1 − r)，只在 −1 < r < 1 時成立
使用方式
- 輸入首項。
- 輸入公比——把任何一項除以它的前一項。
- 輸入你要求的是第幾項，n。
- 查看第 n 項、部分和，以及存在時的無窮級數和。
計算範例
3, 6, 12, 24 … 的第 8 項
- 第 n 項（aₙ）
- 384
- 前 n 項和（Sₙ）
- 765
- 數列
- 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
100, 50, 25 … 的前六項，以及無窮級數的和
- 第 n 項（aₙ）
- 3.125
- 前 n 項和（Sₙ）
- 196.875
- 無窮級數的和
- 200
無窮級數的和什麼時候存在
公比介於 −1 與 1 之間時，各項會愈來愈接近零，總和會趨近一個有限的值。100 + 50 + 25 + … 永遠不會超過 200。同一個公式也說明了 0.999… = 0.9 ÷ (1 − 0.1) = 1。
公比大於等於 1（或小於等於 −1）時，各項不會縮小，總和沒有極限。
倍增累積得有多快
在棋盤的第一格放一粒米，之後 64 格每格都加倍，總共是 2⁶⁴ − 1 = 18,446,744,073,709,551,615 粒。公比為負時，各項會正負交替：3, −6, 12, −24。
常見問題
3, 6, 12, 24… 的第 8 項是多少？
384。首項是 3、公比是 2，a₈ = 3 × 2⁷。
3, 6, 12, 24… 的前 8 項和是多少？
765，由 3 × (2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) 得到。
100, 50, 25… 的無窮級數和是多少？
200，由 100 ÷ (1 − 0.5) 得到。