點估計計算機
點估計是對母體比例所做的單一最佳猜測。輸入成功次數與試驗次數，就能得到最大概似估計，以及三種在小樣本時表現更好的調整估計——威爾遜（Wilson）、傑佛瑞斯（Jeffreys）與拉普拉斯（Laplace）。
- 威爾遜估計
- 0.4037
- 傑佛瑞斯估計
- 0.401
- 拉普拉斯估計
- 0.402
- 臨界值（z*）
- 1.96
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把常用的輸入存起來——你的時薪、你的貸款、你家的房間尺寸——下次點一下就能載入。
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公式
最大概似估計 = x ÷ n
威爾遜估計 = (x + z² ÷ 2) ÷ (n + z²)
傑佛瑞斯估計 = (x + 0.5) ÷ (n + 1)
拉普拉斯估計 = (x + 1) ÷ (n + 2)
x = 成功次數，n = 試驗次數，z = 信賴水準對應的臨界值
使用方式
- 輸入觀察到的成功次數。
- 輸入總試驗次數。
- 選擇信賴水準；它只會影響威爾遜估計。
- 查看各種估計值，選擇適合你樣本大小的那一個。
計算範例
100 次試驗中成功 40 次，95% 信賴水準
- 最大概似估計（x ÷ n）
- 0.4
- 威爾遜估計
- 0.4037
- 傑佛瑞斯估計
- 0.401
- 拉普拉斯估計
- 0.402
- 臨界值（z*）
- 1.96
10 次試驗中成功 3 次
- 最大概似估計（x ÷ n）
- 0.3
- 威爾遜估計
- 0.3555
- 傑佛瑞斯估計
- 0.3182
- 拉普拉斯估計
- 0.3333
20 次試驗中沒有任何一次成功
- 最大概似估計（x ÷ n）
- 0
- 威爾遜估計
- 0.0806
- 傑佛瑞斯估計
- 0.0238
- 拉普拉斯估計
- 0.0455
為什麼估計值不只一種
最大概似估計就是單純的樣本比例，樣本很大時用它最合適。資料很少時它可能很極端：20 次試驗中 0 次成功，估計值剛好是 0，但這件事顯然不是不可能發生。
另外三種估計會加入假想的觀測值，把估計值往 50% 拉。拉普拉斯估計加上一次成功和一次失敗。傑佛瑞斯估計各加半次。威爾遜估計加上 z² ÷ 2 次成功和 z² 次試驗——在 95% 信賴水準下大約是 2 和 4。以 20 次中 0 次為例，三者分別是 0.045、0.024 和 0.081。
樣本很大時結果一致
試驗次數愈多，這些調整就愈不重要。1,000 次試驗中成功 485 次時，四種估計值四捨五入後都是 0.485。點估計也沒有說明它自己的不確定性；請搭配誤差範圍或信賴區間一起使用。
常見問題
100 次試驗中成功 40 次的點估計是多少？
最大概似估計是 0.40。95% 信賴水準下的威爾遜估計是 0.4037。
什麼是點估計？
用來估計未知母體數值的單一數字，例如以樣本比例代表真正的比例。區間估計則是給出一個範圍。
該用哪一種點估計？
樣本很大時，用最大概似估計 x ÷ n。樣本很小，或是完全沒有成功、完全沒有失敗時，調整過的估計比較合理。