擲硬幣機率計算機
這是機率計算機，不是虛擬硬幣：它算的是連續擲很多次時，某個結果有多大的機會。輸入擲幾次與正面次數，就能得到剛好、至少或至多出現這麼多次正面的機率，公正或不公正的硬幣都能算，並附上列出所有結果的表格。
- 約幾分之一
- 1 ／ 4.1
- 正面次數的期望值
- 5
- 標準差
- 1.58
- 每一次都同一面的機率
- 0.2%
每種正面次數的機率
| 正面次數 | 剛好 | 至少 | 至多 |
|---|
已儲存的設定
把常用的輸入存起來——你的時薪、你的貸款、你家的房間尺寸——下次點一下就能載入。
你最近的計算
你在這裡算過的結果會保存在這台裝置上，方便之後回來查看。
公式
P（n 次中剛好 k 次正面）= C(n, k) × pᵏ ×（1 − p）ⁿ⁻ᵏ
C(n, k) = n! ÷（k! ×（n − k）!）
正面次數的期望值 = n × p
標準差 = √（n × p ×（1 − p））
使用方式
- 輸入擲幾次，最多 500 次。
- 選擇剛好、至少或至多。
- 輸入你想問的正面次數。
- 公正的硬幣把正面機率留在 50%；不公正的硬幣就改掉。
計算範例
公正硬幣擲 10 次剛好 5 次正面（1,024 種序列中的 252 種）
- 機率
- 24.61%
- 約幾分之一
- 1 ／ 4.1
- 正面次數的期望值
- 5
- 標準差
- 1.58
擲 10 次至少 8 次正面（1,024 種序列中的 45 + 10 + 1 = 56 種）
- 機率
- 5.47%
- 約幾分之一
- 1 ／ 18.3
連續三次正面
- 機率
- 12.5%
- 約幾分之一
- 1 ／ 8
- 每一次都同一面的機率
- 25%
正面機率 60% 的硬幣擲 5 次，至少 4 次正面
- 機率
- 33.7%
- 正面次數的期望值
- 3
- 標準差
- 1.1
為什麼剛好一半並不那麼常見
大家以為擲十次會有五次正面，但這種情況只有 24.6%——1,024 種可能序列中的 252 種。出現 4、5 或 6 次正面合計占 65.6%。擲的次數越多，剛好五五分的機率越小：擲 100 次，剛好 50 次正面只有 8% 的機率。
隨著次數增加而收斂的是比例。擲 100 次，大約 95% 的情況下正面會落在 40 到 60 次之間。
連續出現與賭徒謬誤
每次都是正面的機率，每多擲一次就減半：連續 3 次是 12.5%（八分之一），連續 5 次是 3.1%（32 分之 1），連續 10 次是 0.098%（1,024 分之 1）。
但硬幣沒有記憶。連續九次正面之後，第十次仍然是五五波。認為反面「該來了」就是賭徒謬誤；那麼低的機率是針對開始之前的整串結果，不是針對下一次。
二項分布
擲硬幣是二項試驗的經典例子：固定次數的獨立試驗，每次都只有同樣的兩種結果、同樣的機率。這表示這個計算機也能回答和硬幣無關的問題——把「正面」的機率設成任何成功率就行，例如命中率 60% 的射手 5 次罰球至少進 4 球的機率（33.7%）。
常見問題
擲 10 次出現 5 次正面的機率是多少？
24.61%——1,024 種機率相同的序列中的 252 種。
連續 10 次正面的機率是多少？
1,024 分之 1，大約 0.098%。
擲 10 次至少 8 次正面的機率是多少？
5.47%。出現八次有 45 種、九次有 10 種、十次有 1 種：1,024 種裡的 56 種。
連續擲出五次正面後，下一次比較容易是反面嗎？
不會。公正的硬幣每一次都是五五波，和之前的結果無關。